ABD
SORULARI
ABD Matematik Yetenek Araştırması'ndan sorular
1. Her biri 13 birim uzunluğunda olan 12 tane çubuğumuz var.
Bu çubukların hepsini kıracağız, öyle ki bütün parçalar 3, 4
ya da 5 birim uzunluğunda olacak. Ortaya çıkan bu küçük çubuklardan
13 tane 3-4-5 üçgeni kurmamız gerekiyor. Çubukları nasıl bölersiniz?
2. f(x) katsayıları tamsayı olan bir polinom,
f(0)=0 ve f(1)=2 olsun. f(7)'nin bir tamsayının karesi olamayacağını
ispatlayın.
3. Tabanı ABCD eşkenar dörtgeni olan bir PABCD
piramidimiz var. Eşkenar dörtgenimizde açı(DAB)=açı(DCB)=60°
olsun. Ayrıca PC2=PB2+PD2 eşitliği de doğruysa PA=AB olduğunu
gösterin.
4. Pozitif x, y, ve z gerçel sayıları aşağıdaki
eşitlikleri sağlıyor:
x + y + xy = 8
y + z + yz = 15
z + x + zx = 35
x+y+z+xyz sayısının değerini bulunuz.
5. İç açılarının değeri derece cinsinden bir tamsayı
olarak ifade edilebilen kaç tane farklı düzgün n-gen vardır?
6. Aşağıda farklı harfler yerine farklı rakamlar
koyarak eşitliği sağlayın, öyle ki MONEY sözcüğü alabileceği
en yüksek değeri alsın. Bu değer nedir?
S H O W
+ T H E
M O N E Y
7. Bir çemberin içine köşeleri çemberin üzerine
gelmek üzere ABCD konveks dörtgeni çizelim. M bu dörtgenin köşegenlerinin
kesişim noktası olsun. E, F, G, H de M'den ABCD dörtgeninin
kenarlarına dik olarak inilen doğruların kenarları kestikleri
noktalar olsun. EFGH dörtgeninin içine kenarlarına teğet olacak
şekilde çizilebilecek olan çemberin merkezini belirleyin.
8. (i) Dokuz basamaklı öyle A, B ve C pozitif
tamsayıları vardır ki her birinin (onluk düzende) yazılımında
1'den 9'a kadar bütün rakamlar birer kez geçmektedir ve A+B=C
eşitliği doğrudur. Gösterin.
(ii) Yedi basamaklı D, E ve F pozitif tamsayıları olsun. Her
birinde 1'den 7'ye bütün rakamlar birer kez kullanılmış olsun.
D+E=F olamayacağını gösterin.
9. R(n), n sayısının kaç farklı şekilde 4 adet
pozitif tamsayının karelerinin toplamı şeklinde yazılabileceğini
göstersin. Mesela R(7)=1 'dir, çünkü 7=1²+1²+1²+2² 'ten başka
dört pozitif tamsayının karesinin yoplamı şeklinde yazılamaz.
k pozitif bir tamsayıysa R(2k)+R(2k+1)=3 olduğunu gösterin.
10. f(1)=0 ve bütün m, n tamsayıları için f(m
+ n)=f(m)+f(n)+3(4mn-1) olsun. f(19)=?
11. Analitik düzlemde bir ABCD karemiz olsun.
Bu karenin AB, BC, CD ve DA kenarları üzerinde sırasıyla (31,27),
(42,43), (60,27), ve (46,16) noktaları verilmiş olsun. Karenin
alanını bulunuz.
DİĞER SORULAR
1: Piyonlar hariç bir renkten bütün taşlarla satranç
tahtasında en çok kaç kare kontrol edilebilir? Veya baska bir
soruş tarzı: Bir renkten bütün taşları tahtaya o şekilde dizin
ki, maksimum sayıda kare kontrol edilsin. 64 kareyi de kontol
edebilecek bir diziliş var mı?
2: Gene bir renkten piyonlar hariç bütün taşlarla
en az sayıda kareyi kontrol etmek için taşları nasıl dizersiniz?
3: Asağıda tamamen aynı parçalardan olusmus ama
alanları farklı iki şekil görüyorsunuz. Böyle bir şey nasıl
olabilir? ...........
4: Kral Midas'ın elinde 1 kg altın var. 10 kuyumcu
çağırıyor, ve herbirine 100'er gram altın veriyor, 10'ar tane
10 gramlık altın para yapmalarını istiyor.
Kuyumcular paraları hazırlıyorlar, ve her biri birer kese içinde
10'ar tane altını Kral'a sunuyor. Kral'ın aldığı ihbara göre
kuyumculardan biri altınları 10 gram yerine 9 gram yapmış; aldığı
100 gram altının 90 gramını paraya dönüştürmüş, kalanını cebine
atmış. Sonuçta Kral'ın elinde 90 tane 10 gramlık, 10 tane de
9 gramlık altın var.
Kral durumu açıklıyor. Sarayın elektronik tartısında tek bir
tartış yaparak hile yapan kuyumcuyu belirleyecek olana bütün
altınları vereceğini vaadediyor.
Siz olsanız bir tartışta hile yapan kuyumcuyu nasıl bulursunuz?
5: Bir ceza evinin iki tane kapısı var. Birisi
cezaevinin avlusuna diğeri dışarıya açılıyor. Bu kapıların birindeki
bekçi devamlı doğru, diğerindeki bekçi ise devamlı yalan söylüyor;
ama hangisinin hangi kapıda olduğunu bilinmiyor. Bir gün ceza
evinin müdürü bir mahkuma bir şans veriyor, diyor ki: "Gidip
doğru kapıyı bulursan serbest kalırsın. Doğru kapıyı bulmak
için tek bir soru sorma şansın var."
Sizce mahkum hangi soruyu sormalı?
6: 0123456789 sayısının altına öyle bir 10 basamaklı
sayı yazın ki, 0'ın altına yazdığınız rakam o sayıdaki 0'ların
adedi, 1'in altına yazdığınız rakam o sayıdaki 1'lerin adedi,
..., 9'un altına yazdığınız rakam o sayıdaki 9'ların adedi olsun.
7: Aşağıdaki toplamda her harf farklı bir rakama
karşılık gelmektedir. Buna göre hangi harfin hangi rakama karşılık
geldiğini bulun. (Bu sorunun 3 çözümü var)
SİGARA
KANSER
